绿色的点表示第三个物体与前两个物体保持相对静止的拉格朗日点。在拉格朗日点之外的其他位置,引力将牵引第三个物体进入不稳定的轨道。

拉格朗日点(Lagrangian point)又称平动点(libration points)在天体力学中是限制性三体问题的五个特殊解(particular solution)。就平面圆型三体问题,1767年数学家欧拉根据旋转的二体引力场推算出其中三个点(特解)为L1、L2、L3,1772年数学家拉格朗日推算出另外两个点(特解)为L4、L5。例如,两个天体环绕运行,在空间中有五个位置可以放入第三个物体(质量忽略不计),并使其保持在两个天体的相应位置上。理想状态下,两个同轨道物体以相同的周期旋转,两个天体的万有引力在拉格朗日点平衡,使得第三个物体与前两个物体相对静止。

位置

五个拉格朗日点之定义及位置如下:

L1

在M1和M2两个大天体的连线上,且在它们之间。

M 1 ( R r ) 2 = M 2 r 2 + M 1 R 2 r ( M 1 + M 2 ) R 3 {\displaystyle {\frac {M_{1}}{\left(R-r\right)^{2}}}={\frac {M_{2}}{r^{2}}}+{\frac {M_{1}}{R^{2}}}-{\frac {r\left(M_{1}+M_{2}\right)}{R^{3}}}}

其中:r 表示 L1 与较小的物体之间的距离,R 表示两个主要物体之间的距离,M1M2 分别表示较大物体和较小物体的质量。

求解 r 需要求解五次方程,但是当小物体的质量(M2)远小于大物体的质量(M1)时,L1和L2近似于希尔球的半径,求解如下:

r R M 2 3 M 1 3 {\displaystyle r\approx R{\sqrt[{3}]{\frac {M_{2}}{3M_{1}}}}}

例如一个围绕太阳旋转的物体,它距太阳的距离越近,它的轨道周期就越短。但是这忽略地球的万有引力对其产生的拉力的影响。如果这个物体在地球与太阳之间,地球引力的影响会减弱太阳对这物体的拉力,因此增加这个物体的轨道周期。物体距地球越近,这种影响就越大。在L1点,物体的轨道周期恰好等于地球的轨道周期。太阳及日光层探测仪(SOHO)即在日-地系统的L1点上运行。

L2

在两个大天体的连线上,且在较小的天体一侧。

M 1 ( R + r ) 2 + M 2 r 2 = M 1 R 2 + r ( M 1 + M 2 ) R 3 {\displaystyle {\frac {M_{1}}{\left(R+r\right)^{2}}}+{\frac {M_{2}}{r^{2}}}={\frac {M_{1}}{R^{2}}}+{\frac {r\left(M_{1}+M_{2}\right)}{R^{3}}}}

同样的,当小物体的质量(M2)远小于大物体的质量(M1)时:

r R M 2 3 M 1 3 {\displaystyle r\approx R{\sqrt[{3}]{\frac {M_{2}}{3M_{1}}}}}

日地系统的L2在地球远离太阳的一侧。一般来讲,一个物体距太阳的距离越远,它的轨道周期通常就越长,但L2点上的物体还受到地球的引力,所以轨道周期变得与地球的相等。日地系统的L2通常用于放置空间天文台。因为L2上的物体可以保持背向太阳和地球的方位,易于保护和校准。威尔金森微波各向异性探测器已经在日-地系统的L2点上运行。詹姆斯韦伯太空望远镜将要被放置在日-地系统的L2点上。嫦娥二号北京时间2011年8月25日23时27分,经过77天的飞行,“嫦娥二号”在世界上首次实现从月球轨道出发,受控准确进入距离地球约150万公里远的、太阳与地球引力平衡点——拉格朗日L2点的环绕轨道。

地月系统的L2在月球远离地球的一侧(月球背面)。2014年中国探月工程三期再入返回飞行试验器服务舱曾进入环绕地月L2点的李萨如轨道开展试验。服务舱实现了环绕地月L2点飞行三圈,验证了轨道设计、轨道控制和轨道维持技术。

L3

在两个大天体的连线上,且在较大的天体一侧。

例如:第三个拉格朗日点,L3,位于太阳的另一侧,与太阳的距离略小于地球与太阳的距离,但是位于地球轨道的外部,这个看上去矛盾的表述是因为地球公转轨道的焦点,是太阳与地球的共同质心,尽管对于日地系统来说共同质心在太阳内部,太阳同时也在围绕这个共同质心转动,所以这种状态成为可能。

一些科幻小说和漫画会在L3点创造一个“反地球”。

L4

L4点受两天体重力的合力指向系统的质心

在以两天体连线为底的等边三角形的第三个顶点上,且在较小天体围绕两天体系统质心运行轨道的前方。此点稳定的原因在于,它到两大物体的距离相等,其对两物体分别的引力之比,正好等于两大物体的质量之比。因此,两个引力的合力正好指向该系统的质心,合力大小正好提供该物体公转所需之向心力,使其旋转周期与质量较小天体相同并达成轨道平衡。该系统中,两大物体和L4点上物体围绕质心旋转,旋转中心与质心重合。事实上,L4和L5点上的物体的质量不须小到可忽略。L4和L5点处,小物体受太阳和地球的引力的合力指向日地共同质心且大小正合适。

L5

在以两天体连线为底的等边三角形的第三个顶点上,且在较小天体围绕两天体系统质心运行轨道的后方。

L4和L5有时称为三角拉格朗日点特洛伊点。科幻作品(如漫画、小说)所说的用于放置殖民卫星的拉格朗日点特指L4和L5,不包括L1和L2[来源请求]

例如:L4和L5在地球围太阳运行的轨道之前和之后成60°角处。

实质上是三个物体围绕共同质心转动。

平衡性

严格而言,首先拉格朗日点只算是二星体连线之法平面内的稳定点,而在三维空间内则不稳定:考虑L1:若垂直于中线地推移测试质点,则有一力将其推回平衡点(稳定平衡);但若测试质点漂向任一星体,则该星体之引力会将其拉向自己(不稳定平衡)。L1、L2和L3点在这条直线上不稳定,如果把物体放在这上面的话,它马上会离开这个点。所以,有一种轨道的设计就是,它是围绕L2点做周期运动(Halo orbit英语Halo orbit),这样的话,我们的卫星只需少量调节便能维持其轨道。

此对比:若M1比M2大于24.96,则处于L4与L5的物体是稳定平衡:当一测试质点偏离此平衡点,则科里奥利力会将其轨道扭曲成(相对于旋转座标之)扁豆状。太阳-木星系统有几千枚小行星,通称为“特洛伊小行星”,俱划此等轨迹。太阳-火星、太阳-土星、木星-木卫、土星-土卫等系统亦有类似星体。日-地系统中亦有 2010 TK7(第一颗地球特洛伊小行星),在二十世纪五十年代发现尘雾围绕L4与L5。在地-月系统之L4与L5点亦发现比对日照更微弱之尘雾。

地球的伴星(companion object)克鲁特尼以类似特洛伊之轨道“围绕”地球,但不是真正的特洛伊卫星,它基本上以一周期略小于一年之椭圆轨道环绕太阳,接近地球时从地球公转提取动能而进入较高之轨道。当克鲁特尼被地球追上,则会交回此动能,跌落低能轨道,重新开始循环。

土卫十一(Epimetheus)与土卫十(Janus)有类似关系,唯因其质量相若,故周期性地互换轨道。

另一类似位形为轨道共振,其中各星体之周期,因其相互作用,成简单整数比。

土卫三(Tethys)的L4和L5点有两个小卫星,土卫十三(Telesto)和土卫十四(Calypso)。土卫四(Dione)的L4点有一个卫星土卫十二(Helene)。

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