格尔斯滕哈伯代数是Gerstenhaber在研究结合代数的形变时发现的。一个结合代数的形变跟它的Hochschild上复形有密切的关系,Gerstenhaber证明,Hochschild上复形实际上形成一个微分分次李代数,并且这个微分分次李代数完全控制了该结合代数的形变。Gerstenhaber的研究受到小平邦彦(Kodaira)-Spencer关于流形复结构形变研究的启发,这些思想后来由Deligne和Kontsevich等人加以系统完成。

在下面后4个例子中,例2和例3是1990年代之前发现的,1993年,Deligne在给一些数学家的通信中猜测它们之间也许是有关系的,用数学语言表述,即:对任何一个结合代数,其Hochschild上复形是little disks operad的链(chain) operad上的代数。这就是著名的Deligne猜想,最后由Kontsevich-Soibelman,McClure-Smith,Tamarkin和Voronov等人解决。Deligne猜想的证明涉及到了很多高深的数学工具,而这些工具都与拓扑共形场论有着密切的联系,因而引起了很多人的兴趣。

稍后,在1997年,Chas和Sullivan的研究论文发表了名为弦拓扑的论文,发现了例5。他们的研究结果引起了数学家们很大的关注和进一步的研究,从而开辟了一门崭新的学科。

最后,需要补充的是,关于Gerstenhaber代数的研究往往伴随着Batalin-Vilkovisky代数(简称BV代数)的研究。BV代数是一类特殊的Gerstenhaber代数,往往由Gerstenhaber代数里面的某种对称性而得到,如。

定义

V {\displaystyle \;V\;} 是数域 k {\displaystyle \;k\;} 上的一个分次向量空间。 V {\displaystyle \;V\;} 上的一个格尔斯滕哈伯代数结构是三元组 ( V , , [ , ] ) {\displaystyle (V,\bullet ,[\;,\;])} ,满足以下关系:

  1. ( V , ) {\displaystyle \;(V,\bullet )\;} k {\displaystyle \;k\;} 上的分次、交换、结合的代数;
  2. ( V , [ , ] ) {\displaystyle \;(V,[\;,\;])\;} 是李括号次数为 -1 的分次李代数;
  3. 李括号对其两个变元都是乘积 {\displaystyle \;\bullet \;} 的导子,即对任给 a , b , c V {\displaystyle a,b,c\in V}
[ a , b c ] = [ a , b ] c + ( 1 ) | b | ( | a | 1 ) b [ a , c ] . {\displaystyle [a,b\bullet c]=[a,b]\bullet c+(-1)^{|b|(|a|-1)}b\bullet [a,c].}

有些文献也把格尔斯滕哈伯代数称为辫代数(braid algebra)。

例子

下面是一些Gerstenhaber代数的例子,因为构造都比较复杂,因此只列出结果,有兴趣的读者可以参考所给文献资料:

  1. g {\displaystyle \;{\mathfrak {g}}\;} 是一个李代数,记 Λ g {\displaystyle \;\Lambda {\mathfrak {g}}\;} 为其所对应的链复形,则在其上有一个自然的Gerstenhaber代数结构,乘法由外积给出,李括号为从 g {\displaystyle \;{\mathfrak {g}}\;} 上诱导的李括号给出(这是一个比较平凡的例子,因此一般人并不重点讨论,但它在构造Gerstenhaber代数的同伦论中非常重要);
  2. A {\displaystyle \;A\;} 是数域 k {\displaystyle \;k\;} 上的结合代数,Gerstenhaber证明: A {\displaystyle \;A\;} 的霍赫希尔德上同调形成一个Gerstenhaber代数;
  3. D {\displaystyle \;D\;} 为little disks operad,Cohen证明: D {\displaystyle \;D\;} 的同调群形成一个Gerstenhaber代数[8]
  4. Lian和Zuckerman证明了,在弦理论的背景(background,指从弦理论里面抽象出来的代数结构)中,存在一个Gerstenhaber代数结构;
  5. M {\displaystyle \;M\;} 是一个紧致光滑的流形, L M {\displaystyle \;LM\;} 是它的自由环路空间(free loop space)。Chas和Sullivan证明: L M {\displaystyle \;LM\;} 的同调群形成一个Gerstenhaber代数[5]


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