理论物理 与 数学中, Wess-Zumino-Witten (WZW) 模型,又称Wess-Zumino-Novikov-Witten model,乃一简单之 共形场论,其解可以用仿射李代数表达。其名来自 Julius Wess、Bruno Zumino、Sergei P. Novikov 与 Edward Witten。

作用

G为紧致单连通李群,设g为其李代数。设γ为黎曼球面 S 2 {\displaystyle S^{2}} (复平面之一点紧致化)上一G-值场

Wess-Zumino-Witten 模型是γ所定义之非线性 sigma 模型,其作用为

S k ( γ ) = k 8 π S 2 d 2 x K ( γ 1 μ γ , γ 1 μ γ ) + 2 π k S W Z ( γ ) {\displaystyle S_{k}(\gamma )=-\,{\frac {k}{8\pi }}\int _{S^{2}}d^{2}x\,{\mathcal {K}}(\gamma ^{-1}\partial ^{\mu }\gamma \,,\,\gamma ^{-1}\partial _{\mu }\gamma )+2\pi k\,S^{\mathrm {W} Z}(\gamma )}

其中首项为量子场论中常见之动量项,重复指标相加,度量为欧几里得度量, K {\displaystyle {\mathcal {K}}} g上之Killing 二次式,而 μ = / x μ {\displaystyle \partial _{\mu }=\partial /\partial x^{\mu }} 为 偏导数。

S 项人称 Wess-Zumino 项,其定义为

S W Z ( γ ) = 1 48 π 2 B 3 d 3 y ϵ i j k K ( γ 1 γ y i , [ γ 1 γ y j , γ 1 γ y k ] ) {\displaystyle S^{\mathrm {W} Z}(\gamma )=-\,{\frac {1}{48\pi ^{2}}}\int _{B^{3}}d^{3}y\,\epsilon ^{ijk}{\mathcal {K}}\left(\gamma ^{-1}\,{\frac {\partial \gamma }{\partial y^{i}}}\,,\,\left[\gamma ^{-1}\,{\frac {\partial \gamma }{\partial y^{j}}}\,,\,\gamma ^{-1}\,{\frac {\partial \gamma }{\partial y^{k}}}\right]\right)}

其中 [,] 为交换子, ϵ i j k {\displaystyle \epsilon ^{ijk}} 为完全反对称张量,i=1,2,3, y i {\displaystyle y^{i}} 为积分座标,取值于单位球 B 3 {\displaystyle B^{3}} 。在此积分中,场γ 被延拓至单位球之内部——此所以可能,是由于任何紧致单连通李群之第二同伦群 π 2 ( G ) {\displaystyle \pi _{2}(G)} 俱为零(γ已于球面上定义)。

拉回

注意:若 e a {\displaystyle e_{a}} 为李代数g之基向量,则 K ( e a , [ e b , e c ] ) {\displaystyle {\mathcal {K}}(e_{a},[e_{b},e_{c}])} g 之 结构常数。结构常数是反对称的,因而定义了一G 上一个三次微分形式。故上述积分实为球 B 3 {\displaystyle B^{3}} 上之三次调和式的拉回。记此三次式为 c、其拉回为 γ {\displaystyle \gamma ^{*}} ,则我们有

S W Z ( γ ) = B 3 γ c {\displaystyle S^{\mathrm {W} Z}(\gamma )=\int _{B^{3}}\gamma ^{*}c}

自此我们可用拓扑方法分析 WZ-项。

拓扑障碍

γ 有多种延拓至球 B 3 K {\displaystyle B^{3}K} 之内部;若要求物理现象不依赖于特定之延拓,则常数k需符合以下“量子条件”:

π 3 ( G ) = Z {\displaystyle \pi _{3}(G)=\mathbb {Z} } 。故

S W Z ( γ ) = S W Z ( γ ) + n {\displaystyle S^{\mathrm {W} Z}(\gamma )=S^{\mathrm {W} Z}(\gamma ')+n}

其中 γ 与 γ' 表示两种延拓, n为一整数——黏合后影射之卷绕数。两种延拓会带来相同的物理系统,若

exp ( i 2 π k S W Z ( γ ) ) = exp ( i 2 π k S W Z ( γ ) ) {\displaystyle \exp \left(i2\pi kS^{\mathrm {W} Z}(\gamma )\right)=\exp \left(i2\pi kS^{\mathrm {W} Z}(\gamma ')\right)}

是故,耦合常数k必须为整数。当G是半单李群,或不连通紧致群, 则由每一连通部所给之一整数构成此阶(level)。

此拓扑障碍亦可以相应之仿射李代数之表示论体现。 当每一阶为一整数,则存在该仿射李代数之酉最高权表示,而其最高权为 dominant integral。此等表示是可积表示。

我们亦常遇相应于一非紧致单李群-例如 SL(2,R)-之 WZW 模型。Juan Maldacena 与 Hirosi Ooguri 以此描述三维反 de sitter 空间上之弦理论。此时 π3(SL(2,R))=0,故不存在拓扑障碍,而其阶亦不必为整数。

推广

上述各 WZW 模型俱定义于黎曼球面上。我们亦可定义一般紧致黎曼曲面上之场γ。

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