y = x 2 {\displaystyle y=x^{2}}

代数中,一个数的平方是此数与它的本身相乘所得的乘积,一个元素的平方是此元素与它的本身相乘所得的乘积,记作x。平方也可视为求指数为2的幂的值。若x是正实数,这个乘积相当于一个边长为x的正方形的面积;如果x为虚数,则这个乘积为负数。如果x为非虚数的复数,则这个乘积也是复数。

如果实数y = x,就说yx的平方;如果同时x是非负数,那么x就是y的平方根。如果一个整数 n {\displaystyle n} 是某个整数的平方,则称 n {\displaystyle n} 为一个完全平方数或平方数。有理数的平方一定是有理数,无理数的平方可以是有理数,也可以是无理数。

平方和

平方和通常指一些正整数的平方之和,整数的个数可以是有限个,也可以是无限多。正整数的平方和公式如下:

1 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 + 5 2 + 6 2 + . . . + n 2 = n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6 {\displaystyle 1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}+6^{2}+...+n^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}}

证明

用数学归纳法证明如下:

n = 1 {\displaystyle n=1} 时, 1 2 = 1 × 2 × 3 6 = 1 {\displaystyle 1^{2}={\frac {1\times 2\times 3}{6}}=1} 成立
n = 2 {\displaystyle n=2} 时, 1 2 + 2 2 = 2 × 3 × 5 6 = 5 {\displaystyle 1^{2}+2^{2}={\frac {2\times 3\times 5}{6}}=5} 成立
n = k {\displaystyle n=k} 时成立,即 1 2 + 2 2 + 3 2 + . . . . + k 2 = k ( k + 1 ) ( 2 k + 1 ) 6 {\displaystyle 1^{2}+2^{2}+3^{2}+....+k^{2}={\frac {k(k+1)(2k+1)}{6}}} 成立
n = k + 1 {\displaystyle n=k+1} 时,
1 2 + 2 2 + 3 2 + . . . . + k 2 + ( k + 1 ) 2 {\displaystyle 1^{2}+2^{2}+3^{2}+....+k^{2}+(k+1)^{2}}
= k ( k + 1 ) ( 2 k + 1 ) 6 + ( k + 1 ) 2 {\displaystyle ={\frac {k(k+1)(2k+1)}{6}}+(k+1)^{2}}
= ( k + 1 ) ( 2 k 2 + k ) 6 + 6 ( k + 1 ) 2 6 {\displaystyle ={\frac {(k+1)(2k^{2}+k)}{6}}+{\frac {6(k+1)^{2}}{6}}}
= ( k + 1 ) [ ( 2 k 2 + k ) + 6 ( k + 1 ) ] 6 {\displaystyle ={\frac {(k+1)[(2k^{2}+k)+6(k+1)]}{6}}}
= ( k + 1 ) ( 2 k 2 + 7 k + 6 ) ) 6 {\displaystyle ={\frac {(k+1)(2k^{2}+7k+6))}{6}}}
= ( k + 1 ) ( k + 2 ) ( 2 k + 3 ) 6 {\displaystyle ={\frac {(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}}}
= ( k + 1 ) [ ( k + 1 ) + 1 ] [ 2 ( k + 1 ) + 1 ] 6 {\displaystyle ={\frac {(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1]}{6}}}
n = k + 1 {\displaystyle n=k+1} 时亦成立,原式得证。

也可以用组合数公式来推导这个公式。

平方和也可以指: a 2 + b 2 = ( a + b i ) ( a b i ) {\displaystyle a^{2}+b^{2}=(a+bi)(a-bi)}

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