在线性代数中,多重线性映射是有多个向量变量而对每个变量都是线性的函数。

n个变量的多线性映射也叫做n重线性映射。

如果所有变量属于同一个空间,可以考虑对称、反对称和交替的n重线性映射。后两个是一致的,如果底层的环(或域)有不同于二的特征,否则前两个是一致的。

一般讨论可见多重线性代数。

例子

n×n矩阵上多重线性映射

可以考虑在有单位元的交换环K上的n×n矩阵上的多重线性函数为矩阵的行(或等价说列)上的函数。设A是这样的矩阵而 a i {\displaystyle a_{i}} , 1 ≤ inA的行。则多重线性函数D可以写为

D ( A ) = D ( a 1 , , a n ) {\displaystyle D(A)=D(a_{1},\ldots ,a_{n})}

满足

D ( a 1 , , c a i + a i , , a n ) = c D ( a 1 , , a i , , a n ) + D ( a 1 , , a i , , a n ) {\displaystyle D(a_{1},\ldots ,ca_{i}+a_{i}',\ldots ,a_{n})=cD(a_{1},\ldots ,a_{i},\ldots ,a_{n})+D(a_{1},\ldots ,a_{i}',\ldots ,a_{n})}

如果我们设 ε j {\displaystyle \varepsilon _{j}} 表示单位矩阵的第j行,我们用下列方法表示 a i {\displaystyle a_{i}}

a i = j = 1 n A ( i , j ) ε j {\displaystyle a_{i}=\sum _{j=1}^{n}A(i,j)\varepsilon _{j}}

利用D的多线性我们重写DA)为

D ( A ) = D ( j = 1 n A ( i , j ) ε j , a 2 , , a n ) = j = 1 n A ( i , j ) D ( ε j , a 2 , , a n ) {\displaystyle D(A)=D\left(\sum _{j=1}^{n}A(i,j)\varepsilon _{j},a_{2},\ldots ,a_{n}\right)=\sum _{j=1}^{n}A(i,j)D(\varepsilon _{j},a_{2},\ldots ,a_{n})}

继续这种代换于每个 a i {\displaystyle a_{i}} 我们得到,对于1 ≤ in

D ( A ) = 1 k i n A ( 1 , k 1 ) A ( 2 , k 2 ) A ( n , k n ) D ( ε k 1 , , ε k n ) {\displaystyle D(A)=\sum _{1\leq k_{i}\leq n}A(1,k_{1})A(2,k_{2})\dots A(n,k_{n})D(\varepsilon _{k_{1}},\dots ,\varepsilon _{k_{n}})}

所以D(A)是唯一的决定自它如何运算于 D ( ε k 1 , , ε k n ) {\displaystyle D(\varepsilon _{k_{1}},\dots ,\varepsilon _{k_{n}})} 上。

2×2矩阵的情况下我们得到

D ( A ) = A 1 , 1 A 2 , 1 D ( ε 1 , ε 1 ) + A 1 , 1 A 2 , 2 D ( ε 1 , ε 2 ) + A 1 , 2 A 2 , 1 D ( ε 2 , ε 1 ) + A 1 , 2 A 2 , 2 D ( ε 2 , ε 2 ) {\displaystyle D(A)=A_{1,1}A_{2,1}D(\varepsilon _{1},\varepsilon _{1})+A_{1,1}A_{2,2}D(\varepsilon _{1},\varepsilon _{2})+A_{1,2}A_{2,1}D(\varepsilon _{2},\varepsilon _{1})+A_{1,2}A_{2,2}D(\varepsilon _{2},\varepsilon _{2})}

这里的 ε 1 = [ 1 , 0 ] {\displaystyle \varepsilon _{1}=[1,0]} ε 2 = [ 0 , 1 ] {\displaystyle \varepsilon _{2}=[0,1]} 。如果我们限制D是交替函数,则 D ( ε 1 , ε 1 ) = D ( ε 2 , ε 2 ) = 0 {\displaystyle D(\varepsilon _{1},\varepsilon _{1})=D(\varepsilon _{2},\varepsilon _{2})=0} D ( ε 2 , ε 1 ) = D ( ε 1 , ε 2 ) = D ( I ) {\displaystyle D(\varepsilon _{2},\varepsilon _{1})=-D(\varepsilon _{1},\varepsilon _{2})=-D(I)} 。设 D ( I ) = 1 {\displaystyle D(I)=1} 我们得到在2×2矩阵上行列式函数:

D ( A ) = A 1 , 1 A 2 , 2 A 1 , 2 A 2 , 1 {\displaystyle D(A)=A_{1,1}A_{2,2}-A_{1,2}A_{2,1}}

性质

多重线性映射有零值,只要它的一个参数是零。

对于n>1,唯一的也是线性映射的n-线性映射是零函数。

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