数学与物理学中,潘洛斯图形符号英语:Penrose graphical notation)或称张量图符号tensor diagram notation)是多线性函数或张量的一种图形表示法,由罗杰·潘洛斯所提出。

这样的图有多种几何图案,之间由线段相连。Predrag Cvitanović曾深入研究此方法,将之用在古典李群的分类上。

透过表示论,此方法也被推广至物理学中的自旋网络,以及线性代数中矩阵群相关的迹数图英语trace diagram

诠释

多线性代数

张量

矩阵

特殊张量表象

度规张量

度规张量由U形或倒U形的循环所表示,正U或倒U由张量类型决定。

度规张量 g a b {\displaystyle g^{ab}\,} 度规张量 g a b {\displaystyle g_{ab}\,}

列维-奇维塔张量

列维-奇维塔反对称张量由粗的水平横杆来表示,其上有朝上或朝下的小棍,由张量类型所决定。

ε a b n {\displaystyle \varepsilon _{ab\ldots n}} ϵ a b n {\displaystyle \epsilon ^{ab\ldots n}} ε a b n ϵ a b n {\displaystyle \varepsilon _{ab\ldots n}\,\epsilon ^{ab\ldots n}} = n ! {\displaystyle =n!}

结构常数

李代数的结构常数( γ a b c {\displaystyle {\gamma _{ab}}^{c}} )由一带有一条朝上线、两条朝下线的小三角形所表示。

结构常数 γ α β χ = γ β α χ {\displaystyle {\gamma _{\alpha \beta }}^{\chi }=-{\gamma _{\beta \alpha }}^{\chi }}

张量运算

指标缩并

指标进行张量缩并英语Tensor contraction可由指标线相连来表示。

克罗内克δ函数 δ b a {\displaystyle \delta _{b}^{a}} 点积 β a ξ a {\displaystyle \beta _{a}\,\xi ^{a}} g a b g b c = δ a c = g c b g b a {\displaystyle g_{ab}\,g^{bc}=\delta _{a}^{c}=g^{cb}\,g_{ba}}

对称化

指标的对称化由水平穿越指标线的粗锯齿状横杆来表示。

对称化
Q ( a b n ) {\displaystyle Q^{(ab\ldots n)}}
(其中 Q a b = Q [ a b ] + Q ( a b ) {\displaystyle {}_{Q^{ab}=Q^{[ab]}+Q^{(ab)}}}

反对称化

指标的反对称化是由水平穿越指标线的粗直线来表示。

反对称化
E [ a b n ] {\displaystyle E_{[ab\ldots n]}}
(其中 E a b = E [ a b ] + E ( a b ) {\displaystyle {}_{E_{ab}=E_{[ab]}+E_{(ab)}}}

行列式

行列式透过指标的反对称化而形成。

行列式 det T = det ( T   b a ) {\displaystyle \det \mathbf {T} =\det \left(T_{\ b}^{a}\right)} 逆矩阵 T 1 = ( T   b a ) 1 {\displaystyle \mathbf {T} ^{-1}=\left(T_{\ b}^{a}\right)^{-1}}

协变导数

协变导数( {\displaystyle \nabla } )是由一围绕待运算之张量的圆圈所表示,另有一条朝下的线连接圆圈表示导数的下标。

协变导数 12 a { ξ f λ f b [ c ( d D g h ] e ) b } {\displaystyle 12\nabla _{a}\left\{\xi ^{f}\,\lambda _{fb[c}^{(d}\,D_{gh]}^{e)b}\right\}}

张量操作

图形符号法在张量代数的操作中颇有用处。这些操作通常牵涉到一些与张量有关的恒等式。

举例来说,一个常见的恒等式:

ε a . . . c ϵ a . . . c = n ! {\displaystyle \varepsilon _{a...c}\epsilon ^{a...c}=n!}

其中n是维度。

黎曼曲率张量

使用黎曼曲率张量所描述的里奇恒等式与比安基恒等式,可展示出潘洛斯图形符号的威力。

黎曼曲率张量的符号 里奇张量 R a b = R a c b       c {\displaystyle R_{ab}=R_{acb}^{\ \ \ c}} 里奇恒等式 ( a b b a ) ξ d {\displaystyle (\nabla _{a}\,\nabla _{b}-\nabla _{b}\,\nabla _{a})\,\mathbf {\xi } ^{d}} = R a b c       d ξ c {\displaystyle =R_{abc}^{\ \ \ d}\,\mathbf {\xi } ^{c}} 比安基恒等式 [ a R b c ] d       e = 0 {\displaystyle \nabla _{[a}R_{bc]d}^{\ \ \ e}=0}

扩充

此符号标记法已扩充到旋量与扭量的使用。

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