在数学与数学物理中,给定流形 M 上一个张量,若在 M 已有一个非退化形式(比如黎曼度量或闵可夫斯基度量),我们可将指标上升或下降:将一个 (k, l) 张量变成一个 (k + 1, l − 1) 张量(上升)或一个 (k − 1, l + 1) 张量(下降)。 这里记号 (k, l) 用于表示张量的秩 k + l,有 k 个上指标和 l 个下指标。

可以这样做:将张量乘以共变或反变度量张量,然后做缩并。下文在对重复指标 j 求和时使用爱因斯坦记号。

乘以反变度量张量(然后缩并)上升指标:

g i j A j = A i , {\displaystyle g^{ij}A_{j}=A^{i},}

而乘以共变度量张量(然后缩并)下降指标:

g i j A j = A i , {\displaystyle g_{ij}A^{j}=A_{i},}

对同一个指标先上升然后下降(或顺序相反)得到原来的张量,这反应了共变度量张量与反变度量张量互逆:

g i j g j i = g i j g j i = g i i = T r g = N . {\displaystyle g^{ij}g_{ji}=g_{ij}g^{ji}=g_{i}^{i}=Trg=N.}

这里 N 是流形的维数。注意下降一个指标不要求形式非奇异,但相反的过程需要非奇异条件。

广义相对论中的例子

闵可夫斯基空间具有度量张量

g μ ν = ( 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ) {\displaystyle g_{\mu \nu }={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}}

共变电磁张量由下式给出

F μ ν = [ 0 E x / c E y / c E z / c E x / c 0 B z B y E y / c B z 0 B x E z / c B y B x 0 ] {\displaystyle F^{\mu \nu }={\begin{bmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{bmatrix}}}
注意:一些教材,比如 Griffiths[1],可能有一个因子 -1。这是因为他们使用了度量张量与此处差一个符号,参见度量符号。老教材比如 Jackson 2ed 没有因子 c;他们使用高斯单位,这里使用国际单位制。

为了得到共变张量 F μ ν {\displaystyle F_{\mu \nu }\,} ,我们用

F μ ν = g μ κ g ν λ F κ λ {\displaystyle F_{\mu \nu }=g_{\mu \kappa }g_{\nu \lambda }F^{\kappa \lambda }\,}

注意因为 g μ ν {\displaystyle g_{\mu \nu }\,} 是对角的,上式中许多项其实没有:

F μ ν = g μ μ g ν ν F μ ν {\displaystyle F_{\mu \nu }=g_{\mu \mu }g_{\nu \nu }F^{\mu \nu }\,}

对指标 1、2、3 使用拉丁字母:

F i j = g i i g j j F i j = F i j {\displaystyle F_{ij}=g_{ii}g_{jj}F^{ij}=F^{ij}\,}

因为度量张量中的因子都是 -1。

F i i = ( g i i ) 2 F i i = F i i {\displaystyle F_{ii}=(g_{ii})^{2}F^{ii}=F^{ii}\,}
F 0 i = g 00 g i i F 0 i = F 0 i {\displaystyle F_{0i}=g_{00}g_{ii}F^{0i}=-F^{0i}\,}

类似

F i 0 = F i 0 {\displaystyle F_{i0}=-F^{i0}\,}

将它们放在一起,我们得到:

F μ ν = [ 0 E x / c E y / c E z / c E x / c 0 B z B y E y / c B z 0 B x E z / c B y B x 0 ] {\displaystyle F_{\mu \nu }={\begin{bmatrix}0&E_{x}/c&E_{y}/c&E_{z}/c\\-E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\-E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\-E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{bmatrix}}}
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