在数学中,外共变导数exterior covariant derivative),时或称为共变外导数covarian texterior derivative),是流形上的微积分(calculus on manifolds)中一个非常有用的概念,它可能将利用主联络的公式化简。

PM 是光滑流形 M 上一个主 G-丛。如果 ϕ {\displaystyle \phi } P 上一个张量性 k-形式,则其外共变导数定义为:

D ϕ ( X 0 , X 1 , , X k ) = d ϕ ( h ( X 0 ) , h ( X 1 ) , , h ( X k ) ) {\displaystyle D\phi (X_{0},X_{1},\dots ,X_{k})=\mathrm {d} \phi (h(X_{0}),h(X_{1}),\dots ,h(X_{k}))}

这里 h 表示到水平子空间的投影, H x {\displaystyle H_{x}} 由联络定义,其核为该纤维丛的全空间切丛的 V x {\displaystyle V_{x}} (铅直子空间)。这里 X i {\displaystyle X_{i}} P 上任何向量场。Dφ 是 P 上一个张量性 k+1 形式。

不像通常的外导数的平方是 0,我们有

D 2 ϕ = Ω ϕ {\displaystyle D^{2}\phi =\Omega \wedge \phi }

这里 Ω {\displaystyle \Omega } 表示曲率形式。特别的 D 2 {\displaystyle D^{2}} 对平坦联络消没。

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