提示:此条目的主题不是狄拉克δ函数,也不是克罗内克符号。

在数学中,克罗内克函数(又称克罗内克δ函数、克罗内克δ) δ i j {\displaystyle \delta _{ij}\,\!} 是一个二元函数,得名于德国数学家利奥波德·克罗内克。克罗内克函数的自变量(输入值)一般是两个整数,如果两者相等,则其输出值为1,否则为0。

δ i j = { 1 ( i = j ) 0 ( i j ) {\displaystyle \delta _{ij}=\left\{{\begin{matrix}1&(i=j)\\0&(i\neq j)\end{matrix}}\right.\,\!}

克罗内克函数的值一般简写为 δ i j {\displaystyle \delta _{ij}\,\!}

克罗内克函数和狄拉克δ函数都使用δ作为符号,但是克罗内克δ用的时候带两个下标,而狄拉克δ函数则只有一个变量。

其它记法

另一种标记方法是使用艾佛森括号(得名于肯尼斯·艾佛森):

δ i j = [ i = j ] {\displaystyle \delta _{ij}=[i=j]\,\!}

同时,当一个变量为0时,常常会被略去,记号变为 δ i {\displaystyle \delta _{i}\,\!}

δ i = { 1 , if  i = 0 0 , if  i 0 {\displaystyle \delta _{i}=\left\{{\begin{matrix}1,&{\mbox{if }}i=0\\0,&{\mbox{if }}i\neq 0\end{matrix}}\right.\,\!}

在线性代数中,克罗内克函数可以被看做一个张量,写作 δ j i {\displaystyle \delta _{j}^{i}\,\!}

数字信号处理

冲激函数

类似的,在数字信号处理中,与克罗内克函数等价的概念是变量为 Z {\displaystyle \mathbb {Z} \,\!} (整数)的函数:

δ [ n ] = { 1 , n = 0 0 , n 0 {\displaystyle \delta [n]={\begin{cases}1,&n=0\\0,&n\neq 0\end{cases}}\,\!}

这个函数代表着一个冲激单位冲激。当一个数字处理单元的输入为单位冲激时,输出的函数被称为此单元的冲激响应。

性质

克罗内克函数有筛选性:对任意 j Z {\displaystyle j\in \mathbb {Z} \,\!}

i = δ i j a i = a j {\displaystyle \sum _{i=-\infty }^{\infty }\delta _{ij}a_{i}=a_{j}\,\!}

如果将整数看做一个装备了计数测度的测度空间,那么这个性质和狄拉克δ函数的定义是一样的:

δ ( x y ) f ( x ) d x = f ( y ) {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\delta (x-y)f(x)dx=f(y)\,\!}

实际上,狄拉克δ函数是根据克罗内克函数而得名的。在信号处理中,两者是同一个概念在不同的上下文中的表现。一般设定 δ ( t ) {\displaystyle \delta (t)\,\,\!} 为连续的情况(狄拉克函数) ,而使用i, j, k, l, m, and n 等变量一般是在 离散的情况下(克罗内克函数)。

线性代数中的应用

在线性代数中,单位矩阵可以写作 ( δ i j ) i , j = 1 n {\displaystyle (\delta _{ij})_{i,j=1}^{n}\,\!}

在看做是张量时(克罗内克张量),可以写作 δ j i {\displaystyle \delta _{j}^{i}\,\!}

这个(1,1)向量表示:

广义克罗内克函数

定义广义克罗内克函数 n × n {\displaystyle n\times n\,\!} 矩阵的行列式,以方程式表达为

δ i 1 i 2 i n j 1 j 2 j n = [ δ i 1 j 1 δ i 2 j 1 δ i n j 1 δ i 1 j 2 δ i 2 j 2 δ i n j 2 δ i 1 j n δ i 2 j n δ i n j n ] {\displaystyle \delta _{i_{1}i_{2}\dots i_{n}}^{j_{1}j_{2}\dots j_{n}}={\begin{bmatrix}\delta _{i_{1}}^{j_{1}}\delta _{i_{2}}^{j_{1}}&\cdots &\delta _{i_{n}}^{j_{1}}\\\delta _{i_{1}}^{j_{2}}\delta _{i_{2}}^{j_{2}}&\cdots &\delta _{i_{n}}^{j_{2}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\delta _{i_{1}}^{j_{n}}\delta _{i_{2}}^{j_{n}}&\cdots &\delta _{i_{n}}^{j_{n}}\\\end{bmatrix}}\,\!}

其中, δ j i {\displaystyle \delta _{j}^{i}\,\!} 是个张量函数,定义为 δ j i   = d e f   δ i j {\displaystyle \delta _{j}^{i}\ {\stackrel {def}{=}}\ \delta _{ij}\,\!}

以下列出涉及广义克罗内克函数的一些恒等式:

其中, ϵ i j k {\displaystyle \epsilon ^{ijk}\,\!} ϵ l m n {\displaystyle \epsilon _{lmn}\,\!} 是列维-奇维塔符号。

其中, T j 1 j 2 j n {\displaystyle T_{j_{1}j_{2}\dots j_{n}}\,\!} n {\displaystyle n\,\!} 阶张量。

积分表示

对任意的整数 n {\displaystyle n\,\!} ,运用标准的留数计算,可以将克罗内克函数表示成积分的形式:

δ x , n = 1 2 π i z x n 1 d z {\displaystyle \delta _{x,n}={\frac {1}{2\pi i}}\oint z^{x-n-1}dz\,\!}

其中积分的路径是围绕零点逆时针进行。

这个表示方式与下面的另一形式等价:

δ x , n = 1 2 π 0 2 π e i ( x n ) φ d φ {\displaystyle \delta _{x,n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }e^{i(x-n)\varphi }d\varphi \,\!}
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