三维应力分量

柯西应力张量英语:Cauchy stress tensor,通常以 σ {\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}\,\!} 表示),又称为真实应力张量true stress tensor[1],是连续介质力学里用现时构形描述的二阶应力张量,以法国数学家奥古斯丁·路易·柯西的名字命名。该张量为对称张量,其九个分量(六个独立分量)表示某一点的应力状态。假设n为单位方向矢量,T(n)为通过与n垂直平面的应力矢量,则T(n)n之间的关系为

T ( n ) = n σ or T j ( n ) = σ i j n i . {\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}=\mathbf {n} \cdot {\boldsymbol {\sigma }}\quad {\text{or}}\quad T_{j}^{(n)}=\sigma _{ij}n_{i}.\,\!}

其中柯西应力张量

σ = [ σ 11 σ 12 σ 13 σ 21 σ 22 σ 23 σ 31 σ 32 σ 33 ] [ σ x x σ x y σ x z σ y x σ y y σ y z σ z x σ z y σ z z ] [ σ x τ x y τ x z τ y x σ y τ y z τ z x τ z y σ z ] {\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\left[{\begin{matrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\\\end{matrix}}\right]\equiv \left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{yx}&\sigma _{yy}&\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}&\sigma _{zy}&\sigma _{zz}\\\end{matrix}}\right]\equiv \left[{\begin{matrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{yx}&\sigma _{y}&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{zy}&\sigma _{z}\\\end{matrix}}\right]\,\!}
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