在黎曼几何里面,度量张量(英语:Metric tensor)又叫黎曼度量,物理学译为度规张量,是指一用来衡量度量空间中距离,面积及角度的二阶张量。

当选定一个局部坐标系统 x i {\displaystyle x^{i}} ,度量张量为二阶张量一般表示为 d s 2 = i j g i j d x i d x j {\displaystyle \textstyle ds^{2}=\sum _{ij}g_{ij}dx^{i}dx^{j}} ,也可以用矩阵 ( g i j ) {\displaystyle (g_{ij})} 表示,记作为Gg。而 g i j {\displaystyle g_{ij}} 记号传统地表示度量张量的协变分量(亦为“矩阵元素”)。

a {\displaystyle a} b {\displaystyle b} 的弧线长度定义如下,其中参数定为t,t由a到b:

L = a b i j g i j d x i d t d x j d t d t {\displaystyle L=\int _{a}^{b}{\sqrt {\sum _{ij}g_{ij}{dx^{i} \over dt}{dx^{j} \over dt}}}dt}

两个切矢量的夹角 θ {\displaystyle \theta } ,设矢量 U = i u i x i {\displaystyle \textstyle U=\sum _{i}u^{i}{\partial \over \partial x_{i}}} V = i v i x i {\displaystyle \textstyle V=\sum _{i}v^{i}{\partial \over \partial x_{i}}} ,定义为:

cos θ = u , v | u | | v | = i j g i j u i v j | i j g i j u i u j | | i j g i j v i v j | {\displaystyle \cos \theta ={\frac {\langle u,v\rangle }{|u||v|}}={\frac {\sum _{ij}g_{ij}u^{i}v^{j}}{\sqrt {\left|\sum _{ij}g_{ij}u^{i}u^{j}\right|\left|\sum _{ij}g_{ij}v^{i}v^{j}\right|}}}}

f {\displaystyle f} R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 的局部微分同胚,其诱导出的度量张量的矩阵形式 G {\displaystyle G} ,由以下方程计算得出:

G = J T J {\displaystyle G=J^{T}J}

J {\displaystyle J} 表示 f {\displaystyle f} 的雅可比矩阵,它的转置为 J T {\displaystyle J^{T}} 。著名例子有 R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} 之间从极坐标 ( r , θ ) {\displaystyle (r,\theta )} 到直角坐标 ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} 的坐标变换,在这例子里有:

x = r cos θ {\displaystyle x=r\cos \theta }
y = r sin θ {\displaystyle y=r\sin \theta }

这映射的雅可比矩阵为

J = [ cos θ r sin θ sin θ r cos θ ] . {\displaystyle J={\begin{bmatrix}\cos \theta &-r\sin \theta \\\sin \theta &r\cos \theta \end{bmatrix}}.}

所以

G = ( g i j ) = J T J = [ cos 2 θ + sin 2 θ r sin θ cos θ + r sin θ cos θ r cos θ sin θ + r cos θ sin θ r 2 sin 2 θ + r 2 cos 2 θ ] = [ 1 0 0 r 2 ]   {\displaystyle G=(g_{ij})=J^{\mathrm {T} }J={\begin{bmatrix}\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta &-r\sin \theta \cos \theta +r\sin \theta \cos \theta \\-r\cos \theta \sin \theta +r\cos \theta \sin \theta &r^{2}\sin ^{2}\theta +r^{2}\cos ^{2}\theta \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&r^{2}\end{bmatrix}}\ }

这跟微积分里极坐标的黎曼度量, d s 2 = d r 2 + r 2 d θ 2 {\displaystyle ds^{2}=dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}} ,一致。

例子

欧几里德几何度量

二维欧几里德度量张量:

( g i j ) = [ 1 0 0 1 ] {\displaystyle (g_{ij})={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}}

弧线长度转为熟悉微积分方程:

L = a b ( d x 1 d t ) 2 + ( d x 2 d t ) 2 d t {\displaystyle L=\int _{a}^{b}{\sqrt {\left({\frac {dx^{1}}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dx^{2}}{dt}}\right)^{2}}}\mathrm {d} t}

在其他坐标系统的欧氏度量:

极坐标系: ( x 1 , x 2 ) = ( r , θ ) {\displaystyle (x^{1},x^{2})=(r,\theta )}

( g i j ) = [ 1 0 0 ( x 1 ) 2 ] {\displaystyle (g_{ij})={\begin{bmatrix}1&0\\0&(x^{1})^{2}\end{bmatrix}}}

圆柱坐标系: ( x 1 , x 2 , x 3 ) = ( r , θ , z ) {\displaystyle (x^{1},x^{2},x^{3})=(r,\theta ,z)}

( g i j ) = [ 1 0 0 0 ( x 1 ) 2 0 0 0 1 ] {\displaystyle (g_{ij})={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&(x^{1})^{2}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}

球坐标系: ( x 1 , x 2 , x 3 ) = ( r , ϕ , θ ) {\displaystyle (x^{1},x^{2},x^{3})=(r,\phi ,\theta )}

( g i j ) = [ 1 0 0 0 ( x 1 ) 2 0 0 0 ( x 1 sin x 2 ) 2 ] {\displaystyle (g_{ij})={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&(x^{1})^{2}&0\\0&0&(x^{1}\sin x^{2})^{2}\end{bmatrix}}}

平面闵可夫斯基空间: ( x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ) = ( c t , x , y , z ) {\displaystyle (x^{0},x^{1},x^{2},x^{3})=(ct,x,y,z)\,}

( g μ ν ) = ( η μ ν ) [ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ] {\displaystyle (g_{\mu \nu })=(\eta _{\mu \nu })\equiv {\begin{bmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}

在一些习惯中,与上面相反地,时间ct的度规分量取正号而空间 (x,y,z)的度规分量取负号,故矩阵表示为:

( g μ ν ) = ( η μ ν ) [ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ] {\displaystyle (g_{\mu \nu })=(\eta _{\mu \nu })\equiv {\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{bmatrix}}}
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