摩尔-彭若斯广义逆 A+(Moore–Penrose pseudoinverse)是最著名的广义逆阵,也是该词的通俗意思。

1903年,埃里克伊姆(Erik Ivar Fredholm)提出积分算子的伪逆的概念。摩尔-彭若斯广义逆先后被以利亚金·黑斯廷斯·摩尔(Eliakim Hastings Moore)(1920年)、阿恩·布耶哈马(Arne Bjerhammar)(1951年) 、罗杰·彭罗斯(1955年)发现或描述。

它常被用于求得或简化非一致线性方程组的最小范数最小二乘解(最小二乘法)。

矩阵的摩尔-彭若斯广义逆在实数域和复数域上都是唯一的,并且可以通过奇异值分解求得。

定义

定义一

PS表示到向量空间S上的正交投影。对于任意一个m乘n的复矩阵A,设R(A)表示A的值域空间。摩尔于1935年证明矩阵A的广义逆矩阵G必须满足的条件:

A G = P R ( A ) , G A = P R ( A H ) {\displaystyle {\boldsymbol {AG}}={\boldsymbol {P}}_{R({\boldsymbol {A}})},{\boldsymbol {GA}}={\boldsymbol {P}}_{R({\boldsymbol {A_{H}}})}}

以上两个条件称为摩尔条件。满足摩尔条件的矩阵G称为矩阵A的摩尔逆矩阵。


定义二

彭若斯于1955年提出了定义广义逆矩阵的另外一组条件[3]

  1. A G A = A {\displaystyle {\boldsymbol {AGA}}={\boldsymbol {A}}} A G {\displaystyle {\boldsymbol {AG}}} 不一定是单位矩阵,但却不会改变 A {\displaystyle {\boldsymbol {A}}} 的列向量。
  2. G A G = G {\displaystyle {\boldsymbol {GAG}}={\boldsymbol {G}}} G {\displaystyle {\boldsymbol {G}}} 是乘法半群的弱逆
  3. ( A G ) H = A G {\displaystyle ({\boldsymbol {AG}})^{\boldsymbol {H}}={\boldsymbol {AG}}} A G {\displaystyle {\boldsymbol {AG}}} 是埃尔米特矩阵
  4. ( G A ) H = G A {\displaystyle ({\boldsymbol {GA}})^{\boldsymbol {H}}={\boldsymbol {GA}}} G A {\displaystyle {\boldsymbol {GA}}} 也是埃尔米特矩阵

以上四个条件常称摩尔-彭若斯条件。满足全部四个条件的矩阵G,就称为A的摩尔-彭若斯广义逆矩阵,记作A

性质

从摩尔-彭若斯条件出发,彭若斯推导出了摩尔-彭若斯广义逆的一些性质:

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