恒星的引力坍缩

引力坍缩(英文:Gravitational collapse)是天体物理学上恒星或星际物质在自身物质的引力作用下向内塌陷的过程,产生这种情况的原因是恒星本身不能提供足够的作用力以平衡自身的引力,从而无法继续维持原有的流体静力学平衡,引力使恒星物质彼此拉近而产生坍缩。在天文学中,恒星形成或衰亡的过程都会经历相应的引力坍缩。特别地,引力坍缩被认为是Ib和Ic型超新星以及II型超新星形成的机制,大质量恒星坍缩成恒星黑洞时的引力坍缩也有可能是伽玛射线暴的形成机制之一。至今人们对引力坍缩在理论基础上还不十分了解,很多细节仍然没有得到理论上的完善阐释。由于在引力坍缩中很有可能伴随着引力波的释放,通过对引力坍缩进行计算机数值模拟以预测其释放的引力波波形是当前引力波天文学界研究的课题之一。

恒星形成中的引力坍缩

参见:恒星形成

恒星形成于星际间尘埃和气体构成的巨型星云,这些星云中的粒子通常状态下以高速随机运动,彼此间的引力不足以将它们压缩到一起。但当外界条件(例如临近的超新星爆发或者其他激变事件的发生)允许时,这些星云被足够强的压力压缩以至于引力能够克服这些粒子的运动使它们彼此靠拢。于是星云开始引力坍缩的过程,并且其速度越来越快,由于角动量守恒的制约最终从原先庞大的星云中分离出许多小的但更致密的星云,这一过程也经常称作引力凝聚(gravitational condensation)。这些星云继续在自身的引力作用下发生坍缩,同时坍缩的能量不断转化成星云的内能,在星云内部产生向外的辐射压,这个辐射压能够通过平衡向内的引力逐渐减缓并最终停止引力坍缩。当辐射压与引力彼此平衡时,星云坍缩为一个具有一定密度的球体,这被称作原恒星。原恒星的周围仍然充斥着厚重的星际气体和尘埃。天文学家已经观测到部分引力凝聚的过程,但这一过程还没有得到全面的了解。

一个约大于1/10倍太阳质量的原恒星能够具有足够高的温度和密度发生氢核聚变,从而能够演化为主序星,在主序星阶段提供恒星辐射压的主要来源就是这种氢核聚变。而小于这一质量的原恒星只能形成褐矮星或次恒星天体,它们不能进行氢核聚变,但有些可以进行氘核聚变;更小的原恒星只有成为行星的可能,正如太阳系中的大行星那样。

恒星衰亡中的引力坍缩

参见:恒星演化

我们主要详细讨论恒星衰亡中的引力坍缩过程,这发生在恒星演化的最后阶段。由于支持恒星的辐射压来自于恒星内部轻元素到重元素的聚变而产生的热量,当恒星的核燃料消耗殆尽后,恒星的温度会逐渐冷却,辐射压从而逐渐不能平衡恒星自身的引力而产生坍缩,而恒星的半径会逐渐减小。从物理上研究引力坍缩的基础是广义相对论,因此我们考虑如下的恒星模型。

恒星的相对论模型

参见:托尔曼-奥本海默-沃尔科夫方程

由于一个理想化的恒星是各向同性的球体,它的引力场应该也是球对称的,我们考虑一个一般化的定态球对称度规:

d s 2 = e 2 α ( r ) d t 2 + e 2 β ( r ) d r 2 + r 2 d Ω 2 {\displaystyle ds^{2}=-e^{2\alpha (r)}dt^{2}+e^{2\beta (r)}dr^{2}+r^{2}d\Omega ^{2}\,}

这里 α ( r ) {\displaystyle \alpha (r)\,} β ( r ) {\displaystyle \beta (r)\,} 都是一般化的函数,它们只与恒星引力场的径向分量 r {\displaystyle r\,} 有关。

将这个引力场与恒星本身物质建立联系的是爱因斯坦场方程:

G μ ν = R μ ν 1 2 R g μ ν = 8 π G T μ ν {\displaystyle G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }=8\pi GT_{\mu \nu }\,}

其中爱因斯坦张量 G μ ν {\displaystyle G_{\mu \nu }\,} 可由度规的形式直接写成

G t t = 1 r 2 e 2 ( α β ) ( 2 r r β 1 + e 2 β ) {\displaystyle G_{tt}={\frac {1}{r^{2}}}e^{2(\alpha -\beta )}\left(2r\partial _{r}\beta -1+e^{2\beta }\right)\,}
G r r = 1 r 2 ( 2 r r α + 1 e 2 β ) {\displaystyle G_{rr}={\frac {1}{r^{2}}}\left(2r\partial _{r}\alpha +1-e^{2\beta }\right)\,}
G θ θ = r 2 e 2 β [ r 2 α + ( r α ) 2 r α r β + 1 r ( r α r β ) ] {\displaystyle G_{\theta \theta }=r^{2}e^{-2\beta }\left[\partial _{r}^{2}\alpha +\left(\partial _{r}\alpha \right)^{2}-\partial _{r}\alpha \partial _{r}\beta +{\frac {1}{r}}\left(\partial _{r}\alpha -\partial _{r}\beta \right)\right]\,}
G ϕ ϕ = sin 2 θ G θ θ {\displaystyle G_{\phi \phi }=\sin ^{2}\theta G_{\theta \theta }\,}

如果星体为一理想流体模型,则这一模型的能量-动量张量为

T μ ν = ( ρ + p ) U μ U ν + p g μ ν {\displaystyle T_{\mu \nu }=\left(\rho +p\right)U_{\mu }U_{\nu }+pg_{\mu \nu }\,}

其中 ρ {\displaystyle \rho \,} 是理想流体的能量密度, p {\displaystyle p\,} 实际是星体的辐射压力,由于星体的各向同性它们都只是径向坐标 r {\displaystyle r\,} 的函数;而 U μ {\displaystyle U_{\mu }\,} 是四维速度,由于它应该是类时的,应该满足 U μ U ν = 1 {\displaystyle U^{\mu }U_{\nu }=-1\,} 的关系,因此根据度规的形式可得到

U μ = ( e α , 0 , 0 , 0 ) {\displaystyle U_{\mu }=\left(e^{\alpha },0,0,0\right)\,}

将这一形式代入能量-动量张量得到

T μ ν = ( e 2 α ρ e 2 β p r 2 p r 2 ( s i n 2 θ ) p ) {\displaystyle T_{\mu \nu }={\begin{pmatrix}e^{2\alpha }\rho &&&\\&e^{2\beta }p&&\\&&r^{2}p&\\&&&r^{2}\left(sin^{2}\theta \right)p\end{pmatrix}}}

由此我们可以得到独立分量的爱因斯坦方程, t t {\displaystyle tt\,} 分量为

1 r 2 e 2 β ( 2 r r β 1 + e 2 β ) = 8 π G ρ {\displaystyle {\frac {1}{r^{2}}}e^{-2\beta }\left(2r\partial _{r}\beta -1+e^{2\beta }\right)=8\pi G\rho \,}

r r {\displaystyle rr\,} 分量为

1 r 2 e 2 β ( 2 r r α + 1 e 2 β ) = 8 π G p {\displaystyle {\frac {1}{r^{2}}}e^{-2\beta }\left(2r\partial _{r}\alpha +1-e^{2\beta }\right)=8\pi Gp\,}

θ θ {\displaystyle \theta \theta \,} 分量为

e 2 β [ r 2 α + ( r α ) 2 r α r β + 1 r ( r α r β ) ] = 8 π G p {\displaystyle e^{-2\beta }\left[\partial _{r}^{2}\alpha +\left(\partial _{r}\alpha \right)^{2}-\partial _{r}\alpha \partial _{r}\beta +{\frac {1}{r}}\left(\partial _{r}\alpha -\partial _{r}\beta \right)\right]=8\pi Gp\,}

由于 ϕ ϕ {\displaystyle \phi \phi \,} 分量和 θ θ {\displaystyle \theta \theta \,} 分量只差一个系数,两者是关联的,无需单独列出 ϕ ϕ {\displaystyle \phi \phi \,} 分量的方程。

注意到 t t {\displaystyle tt\,} 分量的方程中只含 β {\displaystyle \beta \,} ρ {\displaystyle \rho \,} ,因此建立一个新函数 m ( r ) {\displaystyle m(r)\,} 并做如下代换

m ( r ) = 1 2 G ( r r e 2 β ) {\displaystyle m(r)={\frac {1}{2G}}\left(r-re^{2\beta }\right)\,}

从而有

e 2 β = [ 1 2 G m ( r ) r ] 1 {\displaystyle e^{2\beta }=\left[1-{\frac {2Gm(r)}{r}}\right]^{-1}\,}

代入度规得到

d s 2 = e 2 α ( r ) d t 2 + [ 1 2 G m ( r ) r ] 1 d r 2 + r 2 d Ω 2 {\displaystyle ds^{2}=-e^{2\alpha (r)}dt^{2}+\left[1-{\frac {2Gm(r)}{r}}\right]^{-1}dr^{2}+r^{2}d\Omega ^{2}\,}

可见度规的分量 g r r {\displaystyle g_{rr}\,} 具有史瓦西度规的一般化形式,但对于分量 g t t {\displaystyle g_{tt}\,} 而言,爱因斯坦方程变为如下形式:

d m d r = 4 π r 2 ρ {\displaystyle {\frac {dm}{dr}}=4\pi r^{2}\rho \,}

考虑边界条件,这个最简单的微分方程的解是

m ( r ) = 4 π 0 r ρ ( r ) r 2 d r {\displaystyle m(r)=4\pi \int _{0}^{r}\rho \left(r^{\prime }\right)r^{\prime 2}dr^{\prime }\,}

对于半径为 R {\displaystyle R\,} 的星体,可知 m ( R ) {\displaystyle m(R)\,} 就是星体的(史瓦西)质量 M {\displaystyle M\,} ,即

M = m ( R ) = 4 π 0 R ρ ( r ) r 2 d r {\displaystyle M=m(R)=4\pi \int _{0}^{R}\rho (r)r^{2}dr\,}

m ( r ) {\displaystyle m(r)\,} 的物理意义似乎就是对星体内部的能量密度在半径 r {\displaystyle r\,} 的范围内积分,亦即这一范围内的星体质量。不过,如果我们考虑在度规定义下的空间积分,积分的体元应该由下式给出

γ d 3 x = e β r 2 sin θ d r d θ d ϕ {\displaystyle {\sqrt {\gamma }}d^{3}x=e^{\beta }r^{2}\sin \theta drd\theta d\phi \,}

其中 γ {\displaystyle \gamma \,} 是由度规的空间分量给出的张量:

γ i j d x i d x j = e 2 β d r 2 + r 2 d θ 2 + r 2 sin 2 θ d ϕ 2 {\displaystyle \gamma _{ij}dx^{i}dx^{j}=e^{2\beta }dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}\,}

因此对空间的体积分应为

M ¯ = 4 π 0 R ρ ( r ) r 2 e β ( r ) d r = 4 π 0 R ρ ( r ) r 2 [ 1 2 G m ( r ) r ] 1 / 2 d r {\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {M}}&=4\pi \int _{0}^{R}\rho (r)r^{2}e^{\beta (r)}dr\\&=4\pi \int _{0}^{R}{\frac {\rho (r)r^{2}}{\left[1-{\frac {2Gm(r)}{r}}\right]^{1/2}}}dr\end{aligned}}}

这种差异在物理上是由于引力的存在所导致的度规变化而产生的,因此它实际上来源于星体内部物质彼此间的引力相互作用,总体上表现为星体内在的束缚能量,即 E B = M ¯ M > 0 {\displaystyle E_{B}={\bar {M}}-M>0\,} ,它表示了将星体内部的物质打散后抛到无限远处所需要的能量。

对于 r r {\displaystyle rr\,} 分量的爱因斯坦方程,如果用 m ( r ) {\displaystyle m(r)\,} 表示可写为

d α d r = G m ( r ) + 4 π G r 3 ρ r [ r 2 G m ( r ) ] {\displaystyle {\frac {d\alpha }{dr}}={\frac {Gm(r)+4\pi Gr^{3}\rho }{r[r-2Gm(r)]}}\,}

考虑星体的能量-动量守恒: μ T μ ν = 0 {\displaystyle \nabla _{\mu }T^{\mu \nu }=0\,} ,由于 T μ ν {\displaystyle T^{\mu \nu }\,} 和度规形式的关系,只有 r T r r {\displaystyle \nabla _{r}T^{rr}\,} 这一项是不平庸为零的。仅保留这一项后由动量-能量守恒关系得到

( p + ρ ) d α d r = d p d r {\displaystyle (p+\rho ){\frac {d\alpha }{dr}}=-{\frac {dp}{dr}}\,}

将这一方程与上面得到的 r r {\displaystyle rr\,} <

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